지수로그 거리 최솟값

[출제의도] 지수함수와 로그함수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 직선 $\mathrm{A} B$의 방정식은 $y = - x + 5$이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면 $a + b = 5$ 이 때, 점 $\mathrm{H}$의 $x$좌표는 $b = \log _{2} x - 1$에서 $x = 2 ^{b+1}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH} = \mathit{2} ^{b+1}} - \mathit{a}$ 또, 점 $\mathrm{K}$의 $y$좌표는 $y = 2 ^{a} - 1$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PK}} = \mathit{2} ^{a} - 1 - b$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} + \overline{PK} = \mathit{2} ^{b+1} - a + 2 ^{a} - 1 - b$ $= 2 ^{a} + 2 ^{b+1} - 6$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{2 ^{a} \cdot 2 ^{b+1}} - 6$ $= 10$ 따라서 $a = 3$, $b = 2$일 때 최소값은 $10$이다.