미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수함수를 끼운 일차식

문제

1≤x≤21 \leq x \leq 2인 모든 실수 xx에 대하여 부등식 αx≤ex≤βx\alpha x \leq e ^{x} \leq \beta x 가 성립하도록 상수 α,β\alpha , \beta를 정할 때, β−α\beta - \alpha의 최솟값은? [3점] ①e2\displaystyle \frac{e}{2}②ee③e(e34−1)\displaystyle e \left( \frac{e ^{3}}{4} - 1 \right)④e(e23−1)\displaystyle e \left( \frac{e ^{2}}{3} - 1 \right)⑤e(e2−1)\displaystyle e \left( \frac{e}{2} - 1 \right)

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⑤

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해설

y=exy = {e} ^{x}의 접선 중 원점을 지나는 것은 y=exy = ex 즉, (1,e)( 1 , e )에서의 접선과 같다.

β≥e22\displaystyle \beta \geq \frac{e ^{2}}{2}, α≤e\alpha \leq e 따라서 β−α\beta - \alpha의 최솟값은 e22\displaystyle \frac{{e} ^{2}}{2}−e- e=e(e2−1)\displaystyle = e ( \frac{e}{2} - 1 )

태그

#지수함수#접선#부등식

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