지수함수 위 정수 좌표 점

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다. $g ( x )$$= 2 ^{x}$, $h ( x )$$\displaystyle = \left( \frac{1}{4} \right) ^{x+a} - \left( \frac{1}{4} \right) ^{3+a} + 8$이라 하면 곡선 $y$$= g ( x )$의 점근선의 방정식은 $y$$= 0$이고, 곡선 $y$$= h ( x )$의 점근선의 방정식은 $y$$\displaystyle = \mathit{-} \left( \frac{1}{4} \right) ^{3+a} + 8$이다. 그러므로 함수 $y$$= f ( x )$의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

곡선 $y$$= f ( x )$ 위의 점 중에서 $y$좌표가 정수인 점의 개수가 $23$이므로 $y \leq 0$에서 $y$좌표가 정수인 점의 개수는 $8$이다. 곡선 $y$$= h ( x )$의 점근선이 $y$$\displaystyle = \mathit{-} \left( \frac{1}{4} \right) ^{3+a} + 8$이므로 $\displaystyle \mathit{-} \left( \frac{1}{4} \right) ^{3+a} + 8$은 $- 8$ 이상 $- 7$ 미만이어야 한다. 즉, $\displaystyle - 8 \leq \mathit{-} \left( \frac{1}{4} \right) ^{3+a} + 8 < \mathit{-} 7$, $\displaystyle 15 < \left( \frac{1}{4} \right) ^{3+a} \leq 16$, $4 < 15 < 4 ^{- 3 - a} \leq 4 ^{2}$, $1 < \mathit{-} 3 - a \leq 2$, $- 5 \leq a < \mathit{-} 4$ 따라서 구하는 정수 $a$의 값은 $- 5$