대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 평행이동과 넓이

문제

그림과 같이 두 곡선 $y = 2 ^{x}$ , $y = 2 ^{x - 2}$ 과 직선 $y = k$ 의 교점을 각각 $\mathrm{P} _{\mathit{k}}$ , ${\mathrm{Q}} _{k}$ 라 하고, 삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{k}} Q _{\mathit{k}}$ 의 넓이를 $A _{k}$ 라 하자. $A _{1} + A _{4} + A _{7} + A _{10}$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 자연수이고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [3점]

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해설

$y = 2 ^{x - 2}$ 의 그래프는 $y = 2 ^{x}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동한 것이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P} _{\mathit{k}} \mathrm{Q} _{\mathit{k}}} = 2$ ∴ $\displaystyle A _{k} = \frac{1}{2} \times 2 \times k = k$ ∴ $A _{1} + A _{4} + A _{7} + A _{10} = 22$

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