미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 절댓값 적분 극한

문제

함수 f(x)f ( x )는 f(x)={−2x+2(0≤x<2)−2e2−x(x≥2)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - 2 x + 2 ( 0 \leq x < 2 ) \\ \\ - 2 e ^{2 - x} ( x \geq 2 ) \end{cases}} 이다. 양수 aa에 대하여 S(a)=∫0a∣f(x)∣dx\displaystyle S ( a ) = \int _{0} ^{a} {\left| f \left( x \right) \right| dx}라 할 때, lim⁡a→∞S(a)\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow \infty} {} S ( a )의 값은? [3점] ①22②44③66④88⑤1010

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②

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. S(a)=1+1+∫2a2e2−xdx\displaystyle \begin{aligned} S ( a ) & = 1 + 1 + \int _{2} ^{a} {} 2 e ^{2 - x} dx \end{aligned}=2+[−2e2−x]2a= 2 + \left[ - 2 e ^{2 - x} \right] _{2} ^{a}=4−2e2−a\begin{aligned} = 4 - 2 e ^{2 - a} & \end{aligned} 따라서, lim⁡a→∞S(a)=lim⁡a→∞(4−2e2−a)=4\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow \infty} {} S ( a ) = \lim\limits _{a \rightarrow \infty} {} ( 4 - 2 e ^{2 - a} ) = 4

태그

#정적분#지수함수#넓이

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