지수함수 교점 조건

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 추론하기 $f _{1} \left( x \right) = 2 ^{x} + 2 ^{- a} - 2$, $f _{2} \left( x \right) = 2 ^{- x} + 2 ^{a} - 2$라 하면 함수 $y = f _{1} \left( x \right)$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값이 증가하고, 함수 $y = f _{2} \left( x \right)$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소한다. 두 함수 $y = f _{1} \left( x \right)$, $y = f _{2} \left( x \right)$의 그래프의 점근선은 각각 $y = 2 ^{- a} - 2$, $y = 2 ^{a} - 2$이다. $\alpha = 2 ^{- a} - 2$, $\beta = 2 ^{a} - 2$라 하면 두 함수 $y = \left| f _{1} \left( x \right) \right|$, $y = \left| f _{2} \left( x \right) \right|$의 그래프의 점근선은 각각 $y = \left| \alpha \right|$, $y = \left| \beta \right|$이다. $\beta - \alpha = 2 ^{a} - 2 ^{- a} > 0$이므로 $\beta > \alpha$, $- 2 < \alpha < \mathit{-} 1$이므로 $\alpha < 0$이고 $\left| \alpha \right| = \mathit{-} \alpha$, $\displaystyle f \left( a \right) = 2 ^{- a} + 2 ^{a} - 2 > 2 \sqrt{2 ^{- a} \times 2 ^{a}} - 2 = 0$이므로 $f \left( a \right) > 0$ (ⅰ) $0 < a < 1$일 때 $1 < 2 ^{a} < 2$, $\displaystyle \frac{1}{2} < 2 ^{- a} < 1$이므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} < f \left( a \right) < 1$이고 $\displaystyle 1 < \mathit{-} \alpha < \frac{3}{2}$ 그러므로 $f \left( a \right) < \mathit{-} \alpha$ 한편 $- 1 < \beta < 0$이므로 $\left| \beta \right| = \mathit{-} \beta$ $f \left( \alpha \right) = \mathit{-} \beta$에서 $2 ^{- a} + 2 ^{a} - 2 = \mathit{-} 2 ^{a} + 2$, $2 \times \left( 2 ^{a} \right) ^{2} - 4 \times 2 ^{a} + 1 = 0$ $\displaystyle a = \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 그러므로 $\displaystyle a = \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$의 좌우에서 $- \beta$, $f \left( a \right)$의 값의 대소 관계가 달라진다. (a) $\displaystyle 0 < a < \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$일 때 $f \left( a \right) < \mathit{-} \beta < \mathit{-} \alpha$이므로 그림과 같이 $f \left( a \right) < k < \mathit{-} \beta$인 임의의 양수 $k$에 대하여 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만난다.

(b) $\displaystyle \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \leq {a} < 1$일 때 $- \beta {\leq} f \left( a \right) < \mathit{-} \alpha$이므로 그림과 같이 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 $k$의 값은 $k = f \left( a \right)$뿐이다.

(ⅱ) $a = 1$일 때 $\displaystyle - \alpha = \frac{3}{2}$, $\beta = 0$이고 $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{1}{2}$이므로 그림과 같이 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 $k$의 값은 $\displaystyle k = \frac{1}{2}$뿐이다.

(ⅲ) $a > 1$일 때 $\beta > 0$이므로 $\left| \beta \right| = \beta$ $f \left( a \right) = \mathit{-} \alpha$에서 $2 ^{- a} + 2 ^{a} - 2 = \mathit{-} 2 ^{- a} + 2$, $\left( 2 ^{a} \right) ^{2} - 4 \times 2 ^{a} + 2 = 0$ $\displaystyle a = \log _{2} \left( 2 + \sqrt{2} \right)$ 또한 $- \alpha = \beta$에서 $- 2 ^{- a} + 2 = 2 ^{a} - 2$, $\left( 2 ^{a} \right) ^{2} - 4 \times 2 ^{a} + 1 = 0$ $\displaystyle a = \log _{2} \left( 2 + \sqrt{3} \right)$ 그러므로 $\displaystyle a = \log _{2} \left( 2 + \sqrt{2} \right)$, $\displaystyle a = \log _{2} \left( 2 + \sqrt{3} \right)$의 좌우에서 $- \alpha$, $\beta$, $f \left( a \right)$의 값의 대소 관계가 달라진다. (a) $\displaystyle 1 < a \leq \log _{2} \left( 2 + \sqrt{2} \right)$일 때

(b) $\displaystyle \log _{2} \left( 2 + \sqrt{2} \right) < a < \log _{2} \left( 2 + \sqrt{3} \right)$일 때

(c) $\displaystyle a \geq \log _{2} \left( 2 + \sqrt{3} \right)$일 때

(a), (b), (c)에 의하여 $- \alpha$, $\beta$ 중 크지 않은 값을 $s$라 하면 $0 < k < s$인 임의의 양수 $k$에 대하여 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k$는 서로 다른 두 점에서 만난다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 $k$가 오직 하나뿐인 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \leq {a} \leq 1$이므로 $M = 1$, $\displaystyle m = \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle 2 ^{M + m} = 2 ^{1 + \log _{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = 2 + \sqrt{2}$에서 $p = 2$, $q = 2$ 따라서 $p + q = 4$