지수함수 그래프의 선분 비

직선 $x = a$와 세 함수 $f ( x ) = 4 ^{x}$, $g ( x ) = 2 ^{x}$, $\displaystyle h ( x ) = - \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 1}$ 의 그래프가 만나는 점이 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$이므로 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , 4 ^{a} )$, $\mathrm{Q} ( \mathit{a} , 2 ^{a} )$, $\displaystyle \mathrm{R} ( \mathit{a} , - \left( \frac{1}{2} \right) ^{a - 1} )$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$= 4 ^{a} - 2 ^{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$$\displaystyle = 2 ^{a} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{a - 1}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} : \overline{QR} = 8 : 3$에서 $\displaystyle \mathrm{8} \overline{QR} = 3 \mathrm{\overline{PQ}}$이므로 $\displaystyle 8 \left\{ 2 ^{a} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{a - 1} \right\} = 3 \left( 4 ^{a} - 2 ^{a} \right)$ $2 ^{a} = t$라 하면 $\displaystyle 8 \left( t + \frac{2}{t} \right) = 3 \left( t ^{2} - t \right)$, $3 t ^{3} - 11 t ^{2} - 16 = 0$, $( t - 4 ) ( 3 t ^{2} + t + 4 ) = 0$ $\therefore$$t = 4$ 즉, $t = 4 = 2 ^{a}$이므로 $a = 2$이다.