지수함수 그래프 위 점열

[출제의도] 등비수열의 일반항을 구하고 이를 이용하여 간단한 지수방정식을 풀 수 있는가? 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $64$이고 점 $\mathrm{Q} _{1}$의 $x$좌표는 $x _{1}$이다. 이때 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{P} _{1}$의 $y$좌표가 같으므로 $2 ^{64}$$= 16 ^{x _{1}}$에서 $2 ^{64}$$= 2 ^{4 x _{1}}$ $4 x _{1}$$= 64$에서 $x _{1}$$= 16$ 같은 방법으로 모든 자연수 $n$에 대하여 두 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표는 $x _{n}$으로 서로 같고, 두 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}$의 $y$좌표는 같으므로 $2 ^{x _{n}}$$= 16 ^{x _{n + 1}}$ 즉, $2 ^{x _{n}}$$= 2 ^{4 x _{n + 1}}$ 이므로 $x _{n + 1}$$\displaystyle = \frac{1}{4} x _{n}$ 따라서 수열 $\left\{ x _{n} \right\}$은 첫째항이 $16$, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{4}$인 등비수열이므로 $x _{n}$$\displaystyle = 16 \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 1}$$= 2 ^{4} \times 2 ^{- 2 n + 2}$$= 2 ^{6 - 2 n}$ 한편, $x _{n}$$\displaystyle < \frac{1}{k}$을 만족시키는 $n$의 최솟값이 $6$이므로 $\displaystyle x _{5} \geq \frac{1}{k}$이고 $\displaystyle x _{6} < \frac{1}{k}$ 이어야 한다. $\displaystyle x _{5} \geq \frac{1}{k}$에서 $\displaystyle 2 ^{- 4} \geq \frac{1}{k}$, 즉 $\displaystyle \frac{1}{16} \geq \frac{1}{k}$에서 $k \geq 16$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle x _{6} < \frac{1}{k}$에서 $\displaystyle 2 ^{- 6} < \frac{1}{k}$, 즉 $\displaystyle \frac{1}{64} < \frac{1}{k}$에서 $k < 64$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $16 \leq k < 64$이므로 자연수 $k$의 개수는 $64 - 16$$= 48$이다.