지수곡선과 직선 넓이

[출제의도] 지수함수 이해하기 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 3} + 6$의 그래프는 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $3$만큼 $y$축의 방향으로 $6$만큼 평행이동한 것이다. 따라서 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$의 그래프 위의 점 $\left( 0 , 1 \right)$이 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 3} + 6$의 그래프 위의 점 $\left( 3 , 7 \right)$로 이동한다. 그러므로 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 3} + 6$의 그래프와 직선 $y = 2 x + 1$의 교점은 $\left( 3 , 7 \right)$이다. [그림1]의 $A$부분과 $B$부분의 넓이가 서로 같으므로 구하고자 하는 도형의 넓이는 [그림2]와 같이 색칠된 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서 구하는 도형의 넓이는 $4 \times 6 = 24$이다.

$y = 2 x + 9$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 3} + 6$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ $y = 2 x + 1$

[그림1]

$y = 2 x + 9$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 3} + 6$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ $y = 2 x + 1$

[그림2]