지수곡선과 접선 사이 넓이

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 곡선 $y = e ^{x}$과 접선 $l$이 만나는 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 점 $\left( t , e ^{t} \right)$에서의 접선의 기울기는 $e ^{t}$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y = e ^{t} ( x - t ) + e ^{t}$ 접선 $l$이 점 $\left( 1 , 0 \right)$을 지나므로 $e ^{t} ( 1 - t ) + e ^{t} = 0$ $\left( 2 - t \right) e ^{t} = 0$ $t = 2$ 곡선 $y = e ^{x}$과 $y$축 및 직선 $l$으로 둘러싸인 부분은 다음 그림의 색칠된 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left\{ e ^{x} - \left( e ^{2} x - e ^{2} \right) \right\}} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( e ^{x} - e ^{2} x + e ^{2} \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ e ^{x} - \frac{e ^{2}}{2} x ^{2} + e ^{2} x \right] _{0} ^{2}$$= e ^{2} - 1$