대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수·로그함수 교점 개수

문제

두 함수 $f \left( x \right) = a ^{x}$ 과 $g \left( x \right) = \log _{b} x$ 의 교점의 개수를 $k$ 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a \ne 1 , a > 0 , b \ne 1 , b > 0$ ) [4점]

	<보기>

ㄱ. $\displaystyle a = \frac{1}{2} , b = 2$ 이면, $k = 1$ 이다. ㄴ. $\displaystyle a = b = \sqrt{2}$ 이면, $k = 2$ 이다. ㄷ. $ab > 2$ 이면, $k = 2$ 이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질과 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $f ( x )$ 는 감소함수이고, $g ( x )$ 는 증가함수이다. 따라서, 제 $1$ 사분면의 한 점에서 만나므로 $k = 1$ 이다. (참) ㄴ. $\displaystyle y = \left( \sqrt{2} \right) ^{x}$ 은 $y = x$ 와 두 점 $\left( 2 , 2 \right) , \left( 4 , 4 \right)$ 에서 만난다. 따라서, $y = f ( x )$ 와 $y = g ( x )$ 서로 다른 두 점에서 만나므로 $k = 2$ 이다. (참) ㄷ. (반례) $\displaystyle a = 6 , b = \frac{1}{2}$ 이라 하면, $k = 1$ 이다. (거짓)

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