대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수·로그 삼각형 넓이비

문제

제 $1$ 사분면에서 직선 $y = 2 x$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = 4 ^{x}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{2} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 이때, 세 삼각형 $\mathrm{OPA}$ , $\mathrm{PAB}$ , $\mathrm{OPB}$ 의 넓이를 각각 $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 이라 하자. $S _{1} : S _{2} : S _{3} = 3 : k : 7$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [4점]

① $17$ ② $18$ ③ $19$ ④ $20$ ⑤ $21$

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⑤

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해설

직선 $y = 2 x$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 를 $( a , 2 a )$ 라 하면 $\mathrm{A} ( \mathit{a} , 4 ^{a} ) , \mathrm{B} ( \mathit{4} ^{a} , 2 a )$ 이므로 $\displaystyle \frac{S _{3}}{S _{1}} = \frac{( 4 ^{a} - a ) 2 a}{( 4 ^{a} - 2 a ) a} = \frac{7}{3}$ , $4 ^{a} = 8 a$ $\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{( 4 ^{a} - a ) ( 4 ^{a} - 2 a )}{( 4 ^{a} - 2 a ) a} = \frac{k}{3}$ $\therefore k = 2 1$

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