지수·로그 곡선과 사각형

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해하여 사각형의 넓이를 구한다. 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( \mathit{k} , 2 ^{k - 1} + 1 \right)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 8$이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( \mathit{k} , 2 ^{k - 1} - 7 \right)$이다. 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기가 $- 1$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 2 \sqrt{2}$이므로 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 $x$좌표의 차와 $y$좌표의 차는 모두 $2$이다. 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( \mathit{k} - 2 , 2 ^{k - 1} - 5 \right)$이다. 한편 점 $\mathrm{C}$는 곡선 $y = 2 ^{x - 1} + 1$ 위의 점이므로 $2 ^{k - 3} + 1$$= 2 ^{k - 1} - 5$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 ^{k} - \frac{1}{8} \times 2 ^{k}$$= 6$, $2 ^{k}$$= 16$ $k = 4$ 즉, $\mathrm{A} \left( \mathit{4} , 9 \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{4} , 1 \right)$, $\mathrm{C} \left( \mathit{2} , 3 \right)$이다. 점 $\mathrm{B}$가 곡선 $y = \log _{2} \left( x - a \right)$ 위의 점이므로 $1$$= \log _{2} \left( 4 - a \right)$, $4 - a$$= 2$, $a = 2$ 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 $x - 2 = 1$에서 $3$ 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는 두 삼각형 $\mathrm{ACB}$, $\mathrm{CDB}$의 넓이의 합이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} \perp {\overline{\mathrm{BD}}}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}$$= 10$