지수·로그 그래프 평행이동

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질을 이해하기 조건을 만족하는 두 함수는 $y = 10 ^{x - k}$, $y = \log _{10} x + k$ 또한 두 함수는 서로 역함수이고 두 함수의 그래프가 만나는 교점은 $y = x$와 $y = \log _{10} x + k$의 그래프와의 교점과 같고 두 점 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt{2}$이다. 만나는 두 점을 $P ( a , a )$, $Q ( b , b )$ (단, $a < b$)라 하면 $\displaystyle \sqrt{( b - a ) ^{2} + ( b - a ) ^{2}} = \sqrt{2} ( b - a ) = \sqrt{2}$ $\therefore b - a = 1 \cdots \text{㉠}$ 한편, $\displaystyle {\begin{cases} a = \log _{10} a + k & \cdots \text{㉡} \\ b = \log _{10} b + k & \cdots \text{㉢} \end{cases}}$ 에서 ㉢-㉡하면 $b - a = \log _{10} b - \log _{10} a$에서 $\displaystyle \frac{b}{a} = 10 \cdots \text{㉣}$ ㉠과 ㉣를 연립하면 $\displaystyle a = \frac{1}{9}$, $\displaystyle b = \frac{10}{9}$이므로 ㉡에서 $\displaystyle \frac{1}{9} = \log _{10} \frac{1}{9} + k$ $\displaystyle \therefore k = \frac{1}{9} + 2 \log _{10} 3$