지수 합성함수 극값 적분

$g' ( x ) = f' ( x ) \left\{ a e ^{af ( x )} + b \right\}$이고 $g' ( x ) = 0$에서 $f' ( x ) = 0$ 또는 $a e ^{af ( x )} + b = 0$ (ⅰ) $f' ( x ) = 0$인 경우 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} x = 0$ $x = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11$ (ⅱ) $a e ^{af ( x )} + b = 0$인 경우 $\displaystyle e ^{af ( x )} = - \frac{b}{a}$를 만족시키는 $x$의 값이 존재해야하므로 $\displaystyle \frac{b}{a} < 0$ 조건 (나)와 (ⅰ)에 의하여 $n$이 짝수일 때 $\alpha _{n}$은 방정식 $a e ^{af ( x )} + b = 0$의 실근이다. $a e ^{af ( \alpha _{n} )} + b = 0$ $\cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의하여 $n$이 짝수일 때 $e ^{af ( \alpha _{n} )} + b f ( \alpha _{n} ) = 0$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $ab f ( \alpha _{n} ) - b = 0$이고 $\displaystyle f ( \alpha _{n} ) = \frac{1}{a}$ $n$이 짝수일 때, $\displaystyle f ( \alpha _{n} ) = \frac{1}{a}$을 만족시키려면 $\displaystyle - 1 < \frac{1}{a} < 0$ 그러므로 $a < - 1$, $b > 0$

열린 구간 $( 0 , 4 )$에서 함수 $g ( x )$가 $x = \alpha$에서 극소인 서로 다른 $\alpha$의 개수는 $2$이다. 함수 $g ( x )$의 열린 구간 $( 0 , 4 )$에서의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $g ( x )$는 $x = 0$과 $x = 4$에서 극값을 갖지 않고 열린구간 $( 0 , 12 )$에서 $g ( x + 4 ) = g ( x )$를 만족한다. 열린 구간 $( 0 , 12 )$에서 함수 $g ( x )$가 극댓값을 갖도록 하는 서로 다른 $x$의 개수와 극솟값을 갖도록 하는 서로 다른 $x$의 개수는 각각 $6$이므로 $m = 12$ 함수 $g ( x )$는 열린 구간 $( 0 , 4 )$에서 $x = \alpha _{1}$과 $x = \alpha _{3}$일때 각각 극댓값 $e ^{a} + b$, $e ^{-a} - b$를 갖는다. 함수 $g ( x )$의 서로 다른 두 극댓값의 합이 $e ^{3} + e ^{-3}$이므로 $( e ^{a} + b ) + ( e ^{-a} - b )$$= e ^{a} + e ^{-a} = e ^{3} + e ^{-3}$ $a$는 음수이므로 $a = - 3$ $\displaystyle f ( \alpha _{2} ) = f ( \alpha _{4} ) = - \frac{1}{3}$이고 ㉡에 대입하면 $\displaystyle g ( \alpha _{2} ) = e ^{- 3 f ( \alpha _{2} )} + b f ( \alpha _{2} ) = e - \frac{1}{3} b = 0$에서 $b = 3 e$ $\displaystyle m \pi \int _{\alpha _{3}} ^{\alpha _{4}} {g ( x ) \cos \frac{\pi}{2} x dx}$ $\displaystyle = 12 \pi \int _{\alpha _{3}} ^{\alpha _{4}} {\left\{ e ^{- 3 \sin \frac{\pi}{2} x} + 3 e \sin \frac{\pi}{2} x \right\} \cos \frac{\pi}{2} x} dx$ $\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} x = t$로 치환하면 $\displaystyle \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} x = \frac{dt}{dx}$이고 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} \alpha _{3} = \sin \frac{3}{2} \pi = - 1$, $\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} \alpha _{4} = - \frac{1}{3}$이다. $\displaystyle 12 \pi \int _{\alpha _{3}} ^{\alpha _{4}} {\left\{ e ^{- 3 \sin \frac{\pi}{2} x} + 3 e \sin \frac{\pi}{2} x \right\} \cos \frac{\pi}{2} x} dx$ $\displaystyle = 24 \int _{- 1} ^{- \frac{1}{3}} {( e ^{-3t} + 3 et )} dt$ $\displaystyle = 24 \left[ - \frac{1}{3} e ^{-3t} + \frac{3}{2} et ^{2} \right] _{- 1} ^{- \frac{1}{3}}$ $= 8 e ^{3} - 40 e$ 따라서 $p = 8$, $q = - 40$이므로 $p - q = 48$