대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 곡선 교점과 넓이

문제

그림과 같이 두 곡선 y=2x−1y = 2 ^{x} - 1, y=2−x+a9\displaystyle y = 2 ^{- x} + \frac{a}{9}의 교점을 A\mathrm{A}라 하자. 점 B\mathrm{B}의 좌표가 (4,0)( 4 , 0 )일 때, 삼각형 AOB\mathrm{AOB}의 넓이가 1616이 되도록 하는 양수 aa의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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71

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해설

삼각형 AOB\mathrm{A} OB의 넓이가 1616이고 OB‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = 4이므로 점 A\mathrm{A}의 yy좌표는 88이다. 점 A\mathrm{A}는 곡선 y=2x−1y = 2 ^{x} - 1 위의 점이므로 점 A\mathrm{A}의 xx좌표를 α\alpha라 하면 2α−1=82 ^{\alpha} - 1 = 8 ∴ α=log⁡29\alpha = \log _{2} 9 이때, 점 A(log⁡29,8)\mathrm{A} ( \log _{2} 9 , 8 )은 곡선 y=2−x+a9\displaystyle y = 2 ^{- x} + \frac{a}{9} 위의 점이므로 8=2−log⁡29+a9=19+a9\displaystyle 8 = 2 ^{- \log _{2} 9} + \frac{a}{9} = \frac{1}{9} + \frac{a}{9} ∴ a=71a = 71

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#지수함수#교점#넓이

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