진수를 전개한 뒤 산술기하평균 적용

$\displaystyle \log _{2} \left( x + \frac{1}{y} \right) + \log _{2} \left( y + \frac{1}{x} \right) = \log _{2} \left( x + \frac{1}{y} \right) \left( y + \frac{1}{x} \right)$ $\displaystyle \left( x + \frac{1}{y} \right) \left( y + \frac{1}{x} \right) = xy + 1 + 1 + \frac{1}{xy} = xy + \frac{1}{xy} + 2$ $xy > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle xy + \frac{1}{xy} \geq 2 \sqrt{xy \times \frac{1}{xy}} = 2$ (등호는 $xy = 1$일 때 성립) 즉 $\displaystyle \left( x + \frac{1}{y} \right) \left( y + \frac{1}{x} \right) \geq 4$ 밑 $2$가 $1$보다 크므로 주어진 식의 값은 $\log _{2} 4 = 2$ 이상이다. 따라서 최솟값은 $2$이다. ④