기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형과 원 위의 내적

문제

그림은 AB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2, AD‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = 2 \sqrt{3}인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}와 이 직사각형의 한 변 CD\mathrm{CD}를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 두 벡터 AC⃗\mathrm{\vec{AC}}, AP⃗\vec{\mathrm{AP}}의 내적 AC⃗⋅AP⃗\mathrm{\vec{AC}} \cdot \vec{AP}의 최댓값은? (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.) [4점]

①1212②1414③1616④1818⑤2020

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해설

점 A\mathrm{A}를 원점, 직선 AD\mathrm{AD}를 xx축, 직선 AB\mathrm{AB}를 yy축으로 하면 점 C\mathrm{C}의 좌표는 C(23,−2)\displaystyle \mathrm{C} \left( 2 \sqrt{3} , - 2 \right)이다. 원 (x−23)2+(y+1)2=1\displaystyle \left( x - 2 \sqrt{3} \right) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 1 위의 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )에 대하여 AC⃗⋅AP⃗\mathrm{\vec{AC}} \cdot \vec{AP}=23x−2y\displaystyle = 2 \sqrt{3} x - 2 y 23x−2y=k\displaystyle 2 \sqrt{3} x - 2 y = k라 하면 10≤k≤1810 \leq k \leq 18일 때, 직선과 원이 만나므로 kk의 최댓값은 1818이다.

태그

#벡터의 내적#원#최댓값

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