직사각형을 3:5로 나누는 직선의 기울기

실마리: $\displaystyle m = \frac{1}{2}$이면 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$는 대각선 $\mathrm{OB}$가 되므로, 직선이 직사각형의 어느 변과 만나는지는 $m$과 $\displaystyle \frac{1}{2}$의 크기 비교로 나뉜다. 점 $\mathrm{P} \mathit{(} 2 , 1 )$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y = m \left( x - 2 \right) + 1$ 직사각형의 넓이는 $32$이므로 나뉜 두 부분의 넓이는 $12$와 $20$이다. (ⅰ) $\displaystyle m > \frac{1}{2}$일 때 직선은 변 $\mathrm{OA}$와 점 $\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{m} , 0 \right)$에서, 변 $\mathrm{BC}$와 점 $\displaystyle \left( 2 + \frac{3}{m} , 4 \right)$에서 만난다. 직선의 왼쪽 부분은 사다리꼴이고 그 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 4 + \frac{2}{m} \right) \times 4 = 8 + \frac{4}{m}$ $\displaystyle 8 + \frac{4}{m} = 12$에서 $m = 1$ $\displaystyle 8 + \frac{4}{m} = 20$에서 $\displaystyle m = \frac{1}{3}$이지만 $\displaystyle m > \frac{1}{2}$가 아니므로 버린다. (ⅱ) $\displaystyle 0 < m < \frac{1}{2}$일 때 직선은 변 $\mathrm{OC}$와 점 $\left( 0 , 1 - 2 m \right)$에서, 변 $\mathrm{AB}$와 점 $\left( 8 , 1 + 6 m \right)$에서 만난다. 직선의 아래쪽 부분은 사다리꼴이고 그 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 2 + 4 m \right) \times 8 = 8 + 16 m$ $8 + 16 m = 12$에서 $\displaystyle m = \frac{1}{4}$ $8 + 16 m = 20$에서 $\displaystyle m = \frac{3}{4}$이지만 $\displaystyle m < \frac{1}{2}$가 아니므로 버린다. (ⅲ) $\displaystyle m = \frac{1}{2}$이면 대각선이므로 넓이가 $1 : 1$로 나뉜다. $m = 1$일 때 직선은 두 점 $\mathrm{E} \mathit{(} 1 , 0 )$, $\mathrm{F} \mathit{(} 5 , 4 )$를 지나고, $\displaystyle m = \frac{1}{4}$일 때 직선은 두 점 $\displaystyle \mathrm{G} \mathit{\left( 0 , \frac{1}{2} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{H} \mathit{\left( 8 , \frac{5}{2} \right)}$를 지난다. (검산: $m = 1$일 때 왼쪽 사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 1 + 5 \right) \times 4 = 12$, $\displaystyle m = \frac{1}{4}$일 때 아래쪽 사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \right) \times 8 = 12$이다.) 따라서 모든 $m$의 값의 합은 $\displaystyle 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$이므로 $p = 4$, $q = 5$ $p + q = 9$