직각삼각형이 존재하는 직선의 조건

$\mathrm{C}$ 가 직각일 조건 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} + \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = \overline{\mathrm{AB}} ^{2}$ 을 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$좌표에 대한 이차방정식으로 놓고, 점 $\mathrm{C}$ 가 존재할 조건을 실근이 있을 조건으로 바꾼다. 점 $\mathrm{C}$ 는 직선 $y = x + k$ 위의 점이므로 $\mathrm{C} ( x , x + k )$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} + \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = \overline{\mathrm{AB}} ^{2}$ 에서 $x ^{2} + ( x + k ) ^{2} + ( x - 4 ) ^{2} + ( x + k ) ^{2} = 16$ $4 x ^{2} + ( 4 k - 8 ) x + 2 k ^{2} = 0$, 즉 $2 x ^{2} + ( 2 k - 4 ) x + k ^{2} = 0$ ㉠ ㉠을 만족시키는 실수 $x$ 가 존재해야 하므로 ㉠의 판별식을 $D$ 라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( k - 2 ) ^{2} - 2 k ^{2} \geq 0$ $k ^{2} + 4 k - 4 \leq 0$ $\displaystyle - 2 - 2 \sqrt{2} \leq k \leq - 2 + 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle 2 < 2 \sqrt{2} < 3$ 이므로 $\displaystyle - 5 \leftarrow 2 - 2 \sqrt{2} \leftarrow 4$, $\displaystyle 0 \leftarrow 2 + 2 \sqrt{2} < 1$ 따라서 정수 $k$ 는 $- 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0$ 이다. 이때 점 $\mathrm{C}$ 가 $\mathrm{A}$ 또는 $\mathrm{B}$ 와 일치하면 삼각형이 되지 않으므로 확인한다. $k = 0$ 이면 ㉠은 $2 x ^{2} - 4 x = 0$ 에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 이고, $x = 0$ 이면 $\mathrm{C}$ 가 $\mathrm{A}$ 와 일치하지만 $x = 2$ 일 때 $\mathrm{C} ( 2 , 2 )$ 는 조건을 만족시킨다. $k = - 4$ 이면 ㉠은 $2 x ^{2} - 12 x + 16 = 0$ 에서 $x = 2$ 또는 $x = 4$ 이고, $x = 4$ 이면 $\mathrm{C}$ 가 $\mathrm{B}$ 와 일치하지만 $x = 2$ 일 때 $\mathrm{C} ( 2 , - 2 )$ 는 조건을 만족시킨다. $k = - 3 , - 2 , - 1$ 이면 직선 $y = x + k$ 가 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 를 지나지 않으므로 ㉠의 근은 모두 조건을 만족시킨다. 따라서 구하는 정수 $k$ 의 개수는 $5$이다.