미적분Ⅱ정적분의 활용AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

저수지 물의 양의 최댓값 구하기

문제

어느 저수지에 물이 $3$ 만 톤 있다. 시각 $t$ (일)에서 하루에 $\displaystyle \frac{4}{t + 1}$ 만 톤의 속도로 물이 흘러 들어오고, 동시에 하루에 $1$ 만 톤의 속도로 물을 내보낸다. 이 저수지의 물의 양이 최대가 될 때, 그때의 물의 양은? (단, 단위는 만 톤이다.) [4점] ① $4 \ln 2$ ② $6 \ln 2$ ③ $8 \ln 2$ ④ $3 + 8 \ln 2$ ⑤ $12 \ln 2$

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③

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해설

시각 $t$ 에서의 물의 양을 $V ( t )$ 라 하면 $\displaystyle V ( t ) = 3 + \int _{0} ^{t} \left( \frac{4}{s + 1} - 1 \right) ds$ $\displaystyle V' ( t ) = \frac{4}{t + 1} - 1 = \frac{3 - t}{t + 1}$ $0 \leq t < 3$ 에서 $V' ( t ) > 0$ , $t > 3$ 에서 $V' ( t ) < 0$ 이므로 $V ( t )$ 는 $t = 3$ 에서 최대이다. $V ( 3 ) = 3 + \left[ 4 \ln ( s + 1 ) - s \right] _{0} ^{3} = 3 + ( 4 \ln 4 - 3 ) = 4 \ln 4 = 8 \ln 2$ 따라서 물의 양이 최대일 때 그 양은 $8 \ln 2$ (만 톤)이다. ③

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