미적분Ⅱ여러 가지 적분법AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선의 기울기로 함수 구하기

문제

곡선 y=f(x)y = f ( x ) 위의 점 (t,f(t))( t , f ( t ) )에서의 접선의 기울기가 2sin⁡2(t2)\displaystyle 2 \sin ^{2} \left( \frac{t}{2} \right)이고 f(0)=1f ( 0 ) = 1일 때, f(π)f ( \pi )의 값은? [4점] ①π−1\pi - 1②π\pi③π+1\pi + 1④2π−12 \pi - 1⑤2π+12 \pi + 1

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③

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해설

점 (t,f(t))( t , f ( t ) )에서의 접선의 기울기가 2sin⁡2(t2)\displaystyle 2 \sin ^{2} \left( \frac{t}{2} \right)이므로 f′(x)=2sin⁡2(x2)=1−cos⁡x\displaystyle f' ( x ) = 2 \sin ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) = 1 - \cos x f(x)=∫(1−cos⁡x)dx=x−sin⁡x+C\displaystyle f ( x ) = \int ( 1 - \cos x ) dx = x - \sin x + C (CC는 적분상수) f(0)=0−0+C=1f ( 0 ) = 0 - 0 + C = 1에서 C=1C = 1 f(x)=x−sin⁡x+1f ( x ) = x - \sin x + 1 따라서 f(π)=π−0+1=π+1f ( \pi ) = \pi - 0 + 1 = \pi + 1 ③

태그

#삼각함수의 적분#부정적분#접선의 기울기#반각공식

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