접선의 길이의 최솟값

원 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 9$ 의 중심은 $\mathrm{C} ( 2 , 1 )$ 이고 반지름의 길이는 $3$ 이다. 접점이 $\mathrm{T}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CT}} \bullet \overline{\mathrm{PT}}$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} = d$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}} = \sqrt{d ^{2} - 9}$ 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}$ 가 최소가 되려면 $d$ 가 최소이어야 한다. 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $4 x + 3 y - 36 = 0$ 위의 점이므로 $d$ 의 최솟값은 점 $\mathrm{C}$ 와 이 직선 사이의 거리와 같다. $\displaystyle \frac{\left| 4 \times 2 + 3 \times 1 - 36 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}}} = \frac{25}{5} = 5$ 이때 $5 > 3$ 이므로 직선은 원과 만나지 않고, 점 $\mathrm{P}$ 는 항상 원 밖에 있다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}$ 의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{5 ^{2} - 9} = \sqrt{16} = 4$