접선과 원 위의 점이 이루는 각의 최대

$y = x ^{3} - x ^{2}$ 위의 점을 $\mathrm{A} ( \mathit{t} , t ^{3} - t ^{2} )$라 하면 $y' = 3 x ^{2} - 2 x$에서 점 $\mathrm{A}$에서의 기울기는 $3 t ^{2} - 2 t$이므로 $3 t ^{2} - 2 t$$= 8$, $( t - 2 ) ( 3 t + 4 ) = 0$ $\therefore$ $t = 2$$\left( \because t > 0 \right)$ 따라서 점 $\mathrm{A} ( 2 , 4 )$이다. 원 $S$ 위의 점 $\mathrm{X}$를 지나고 직선 $\mathrm{OA}$에 평행한 직선을 $l$이라 하고, 점 $\mathrm{B}$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 다음 그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \overline{BX} \sin \theta$

$\displaystyle \mathrm{\overline{BX}} \sin \theta$, 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}$가 최대일 때는 원 $S$와 직선 $l$이 접할 때이다.

위의 그림과 같이 점 $\mathrm{H}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하면 직선 $l$과 수직인 직선 $\mathrm{BH}$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{BHI}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BI}} : \overline{IH} : \overline{BH} = 1 : 2 : \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BI}} = \frac{6}{5}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{IH}} = \frac{12}{5}$ 따라서 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{H} \left( \frac{12}{5} , \frac{14}{5} \right)$이다. 이때 직선 $l$은 기울기가 $2$이고 점 $\mathrm{H}$를 지나는 직선이므로 직선의 방정식은 $y = 2 x - 2$ 원 $S$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 원 $S$의 방정식은 $x ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = r ^{2}$ 원 $S$와 직선 $l$이 접하므로 원의 중심 $\left( 0 , 2 \right)$에서 직선 $l : 2 x - y - 2 = 0$까지의 거리가 반지름의 길이와 같다. $\therefore$ $\displaystyle r = \frac{\left| - 4 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$