접선과 넓이

조건을 만족시키려면 점 $( a , f ( a ) )$가 곡선 $y = f ( x )$의 변곡점이어야 한다.

$f ( x ) = - x e ^{2-x}$에서 $f' ( x )$$= e ^{2-x} ( x - 1 )$ $f'' ( x ) = e ^{2-x} ( 2 - x )$ 함수 $f ( x )$의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$f'' ( 2 ) = 0$이므로 $a = 2$이고 $f' ( 2 ) = 1$, $f ( 2 ) = - 2$이므로 $g ( x ) = x - 4$이다. 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} \left\{ - x e ^{2-x} - ( x - 4 ) \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ x e ^{2 - x} + e ^{2-x} - \frac{1}{2} x ^{2} + 4 x \right] _{0} ^{2}$ $= 9 - e ^{2}$ ∴ $k = 9$