접선과 넓이

[출제의도] 적분법을 이용하여 넓이 계산하기 $y = e ^{4 x}$에서 $y' = 4 e ^{4 x}$이므로 원점에서 곡선 $y = e ^{4 x}$에 그은 접선의 접점의 좌표를 $( t , e ^{4 t} )$이라 하면 접선의 방정식은 $y - e ^{4 t} = 4 e ^{4 t} ( x - t )$ 접선이 원점을 지나므로 $0 - e ^{4 t} = 4 e ^{4 t} ( 0 - t )$ $\displaystyle \therefore t = \frac{1}{4}$ 그러므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y - e = 4 e \left( x - \frac{1}{4} \right)$, 즉 $y = 4 ex$ 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{1}{4}} {} ( e ^{4 x} - 4 ex ) dx = \left[ \frac{1}{4} e ^{4 x} - 2 ex ^{2} \right] _{0} ^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{e}{4} - \frac{e}{8} \right) - \frac{1}{4} = \frac{e - 2}{8}$