접선과 정적분 조건

$f' \left( x \right) = - 2 x + k$ 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 ${\mathrm{A}} \left( a , f \left( a \right) \right)$에서의 접선의 방정식 $y = g \left( x \right)$는 $g \left( x \right)$$= \left( - 2 a + k \right) \left( x - a \right) - a ^{2} + ka$$= \left( - 2 a + k \right) x + a ^{2}$ $0 = \left( - 2 a + k \right) x + a ^{2}$에서 $\displaystyle x = \frac{a ^{2}}{2 a - k} = b$ 직선 $y = g \left( x \right)$가 $x$축과 만나는 점을 ${\mathrm{B}}$라 하자. $\displaystyle \int _{a} ^{b} g \left( x \right) dx = S$이므로 삼각형 ${\mathrm{BAH}}$의 넓이와 삼각형 ${\mathrm{AOH}}$의 넓이는 서로 같다. 점 ${\mathrm{H}}$의 좌표는 $\left( a , 0 \right)$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = {\overline{\mathrm{BH}}}$이므로 $b = 2 a$

$\displaystyle \frac{a ^{2}}{2 a - k} = 2 a$에서 $\displaystyle k = \frac{3}{2} a$ $\displaystyle \int _{0} ^{a} \left\{ f \left( x \right) - \frac{1}{2} ax \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{a} \left( - x ^{2} + \frac{3}{2} ax - \frac{1}{2} ax \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{a} \left( - x ^{2} + ax \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1}{2} ax ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{a}$ $\displaystyle = \frac{a ^{3}}{6} = \frac{32}{3}$ $a = 4$, $k = 6$ $g \left( x \right) = - 2 x + 16$ 따라서 $g \left( - k \right) = g \left( - 6 \right) = 12 + 16 = 28$