접선과 곡선 교점 개수

[출제의도] 미분을 이용하여 함수의 그래프를 개형을 그릴 수 있으며 조건을 만족시키는 함수를 구할 수 있는가? $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{x ^{2} - ax}{e ^{x}} = \left( x ^{2} - ax \right) e ^{- x}$ 이므로 $f' \left( x \right)$$= \left( 2 x - a \right) e ^{- x} + \left( x ^{2} - ax \right) e ^{- x} \times \left( - 1 \right)$ $= e ^{- x} \left\{ - x ^{2} + \left( a + 2 \right) x - a \right\}$ $= - e ^{- x} \left\{ x ^{2} - \left( a + 2 \right) x + a \right\}$ 이때, $f' \left( x \right) = 0$에서 $x ^{2} - \left( a + 2 \right) x + a = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= \left( a + 2 \right) ^{2} - 4 a$$= a ^{2} + 4$$> 0$ 또, ㉠의 서로 다른 두 근은 $\displaystyle x = \frac{\left( a + 2 \right) \pm \sqrt{a ^{2} + 4}}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이때, $a > 0$이므로 $\displaystyle a + 2 = \sqrt{\left( a + 2 \right) ^{2}} > \sqrt{a ^{2} + 4}$ 그러므로 두 양의 실근을 갖는다. ㉡의 두 근을 $\alpha , \beta$ $\left( 0 < \alpha < \beta \right)$라 하면 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

이때, $f \left( 0 \right) = 0$, $f \left( a \right) = 0$ 이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2} - ax}{e ^{x}}} = 0$ 이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

또, $f'' \left( x \right)$$= e ^{- x} \left\{ x ^{2} - \left( a + 2 \right) x + a \right\}$$- e ^{- x} \left\{ 2 x - \left( a + 2 \right) \right\}$ $= e ^{- x} \left\{ x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + 2 a + 2 \right\}$ 이때, $f'' \left( x \right) = 0$에서 $x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + 2 a + 2 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= \left( a + 4 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \left( 2 a + 2 \right)$$= a ^{2} + 8$$> 0$ 그러므로 함수 $f \left( x \right)$가 변곡점을 갖는 $x$의 값의 개수는 $2$이다. 한편, 방정식 $f \left( x \right) = f' \left( x \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right)$ 의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right)$ 의 그래프의 교점의 개수이다. 이때, 직선 $y = f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right)$는 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$에서의 접선이다. 한편, 함수 $g \left( x \right)$가 $t = a$에서 연속이면 $\displaystyle g \left( a \right) = \lim\limits _{t \rightarrow a} {g \left( t \right)}$ 이므로 $\displaystyle g \left( a \right) + \lim\limits _{t \rightarrow a} {g \left( t \right)}$ 의 값은 짝수이어야 한다. 그런데 $\displaystyle g \left( 5 \right) + \lim\limits _{t \rightarrow 5} {g \left( t \right)} = 5$ $\cdots \cdots$ ㉢ 이므로 함수 $g \left( t \right)$는 $t = 5$에서 불연속이다. 함수 $g \left( t \right)$가 불연속이 되는 $t$의 값은 함수 $f \left( x \right)$가 극값을 갖는 $x$의 값이거나 변곡점을 갖는 $x$의 값이다. 한편, 함수 $f \left( x \right)$가 극값을 갖는 $x$의 값을 $m$이라 하면 함수 $g \left( t \right)$는 $t = m$에서 극한값을 갖지 않는다. 또, 함수 $f \left( x \right)$가 변곡점을 갖는 $x$의 값을 $n$이라 하면 함수 $g \left( t \right)$는 $t = n$에서 극한값을 갖는다. 그러므로 ㉢을 만족시키는 $t$의 값은 함수 $f \left( x \right)$가 변곡점을 갖는 $x$의 값 중 큰 값이다.

즉, 함수 $f \left( x \right)$는 $X = 5$에서 변곡점을 갖고 이때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 5} {g \left( t \right)} = 3$, $g \left( 5 \right) = 2$ 이므로 조건을 만족시킨다. 따라서, $x = 5$가 방정식 ㉡의 근이므로 대입하면 $5 ^{2} - \left( a + 4 \right) \times 5 + 2 a + 2 = 0$ $- 3 a + 7 = 0$ $\displaystyle a = \frac{7}{3}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 한편, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k -} {g \left( t \right)} \ne \lim\limits _{t \rightarrow k +} {g \left( t \right)}$ 를 만족시키는 $k$의 값은 함수 $f \left( x \right)$가 극값을 갖는 $x$의 값이다. ㉠에 ㉢을 대입하면 $\displaystyle x ^{2} - \left( \frac{7}{3} + 2 \right) x + \frac{7}{3} = 0$ $\displaystyle x ^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{7}{3} = 0$ 따라서, 구하는 모든 실수 $k$의 값의 합은 근과 계수의 관계를 이용하면 $\displaystyle \frac{13}{3}$이므로 $p + q = 3 + 13 = 16$