미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선으로 만든 삼각형의 최대 넓이

문제

곡선 y=x2−8x+17y = x ^{2} - 8 x + 17 위의 점 P(t,{\mathrm{P}} ( t , t2−8t+17)t ^{2} - 8 t + 17 )에서의 접선이 yy축과 만나는 점을 Q, 점 P를 지나고 xx축에 평행한 직선이 yy축과 만나는 점을 R라 하고 삼각형 PQR의 넓이를 S(t)S ( t )라 하자. 1≤t≤31 \leq t \leq 3일 때, S(t)S ( t )가 최대가 되는 tt의 값은? [4점] ①43\displaystyle \frac{4}{3}②53\displaystyle \frac{5}{3}③22④73\displaystyle \frac{7}{3}⑤83\displaystyle \frac{8}{3}

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⑤

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해설

y=x2−8x+17y = x ^{2} - 8 x + 17 , y′=2x−8y' = 2 x - 8 접선은 y=(2t−8)(x−t)+t2−8t+17y = ( 2 t - 8 ) ( x - t ) + t ^{2} - 8 t + 17 Q의 yy좌표는 y=−t2+17y = - t ^{2} + 17 R의 yy좌표는 y=t2−8t+17y = t ^{2} - 8 t + 17 S(t)=12t(−2t2+8t)\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} t ( - 2 t ^{2} + 8 t )=−t3+4t2= - t ^{3} + 4 t ^{2} S′(t)=−3t2+8tS' ( t ) = - 3 t ^{2} + 8 t 따라서 t=83\displaystyle t = \frac{8}{3}일 때 극솟값, 즉 최솟값을 갖는다.

태그

#접선#삼각형의 넓이#최댓값

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