미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

접선 y절편 함수와 적분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )에 대하여 곡선 y=f(x)y = f ( x ) 위의 점 (t,f(t))( t , f ( t ) )에서의 접선의 yy절편을 g(t)g ( t )라 하자. 모든 실수 tt에 대하여

(1+t2){g(t+1)−g(t)}=2t( 1 + t ^{2} ) \left\{ \mathit{g} ( t + 1 ) - g ( t ) \right\} = 2 t

이고, ∫01f(x)dx=−ln⁡104,f(1)=4+ln⁡178\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx = - \frac{\ln 10}{4} , f ( 1 ) = 4 + \frac{\ln 17}{8}일 때, 2{f(4)+f(−4)}−∫−44f(x)dx\displaystyle 2 \left\{ f ( 4 ) + f ( - 4 ) \right\} - \int _{-4} ^{4} f ( x ) dx의 값을 구하시오. [4점]

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16

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해설

g(t)g ( t )는 접선의 yy절편이므로 y=f(t)y = f ( t )의 (t,f(t))( t , f ( t ) )에서의 접선의 방정식은 y=f′(t)(x−t)+f(t)y = f' ( t ) ( x - t ) + f ( t )이므로 g(t)=−tf′(t)+f(t)g ( t ) = - tf' ( t ) + f ( t ) 주어진 조건에서 g(t+1)−g(t)=2t1+t2\displaystyle g ( t + 1 ) - g ( t ) = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} 양변을 적분하면 (좌변))=∫0x(g(t+1)−g(t))dt=∫0xg(t+1)dt−∫0xg(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{x} {( g ( t + 1 ) - g ( t ) )} dt = \int _{0} ^{x} {} g ( t + 1 ) dt - \int _{0} ^{x} {} g ( t ) dt =∫1x+1g(t)dt−∫0xg(t)dt\displaystyle = \int _{1} ^{x + 1} {} g ( t ) dt - \int _{0} ^{x} {} g ( t ) dt =∫0x+1g(t)dt−∫0xg(t)dt−∫01g(t)dt\displaystyle = \int _{0} ^{x + 1} {} g ( t ) dt - \int _{0} ^{x} {} g ( t ) dt - \int _{0} ^{1} {} g ( t ) dt =∫xx+1g(t)dt−∫01g(t)dt\displaystyle = \int _{x} ^{x + 1} g ( t ) dt - \int _{0} ^{1} g ( t ) dt (우변)=∫0x2t1+t2dt=[ln⁡(1+t2)]0x=ln⁡(1+x2)\displaystyle = \int _{0} ^{x} \frac{2 t}{1 + t ^{2}} dt = \left[ \ln ( 1 + t ^{2} ) \right] _{0} ^{x} = \ln ( 1 + x ^{2} ) h(x)=∫xx+1g(t)dt=ln⁡(1+x2)+∫01g(t)dt\displaystyle h ( x ) = \int _{x} ^{x + 1} g ( t ) dt = \ln ( 1 + x ^{2} ) + \int _{0} ^{1} g ( t ) dt … ㉠ 이라 하자. ∫01g(t)dt=∫01(−tf′(t)+f(t))dt=∫01(−tf′(t))dt+∫01f(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g ( t ) dt = \int _{0} ^{1} {} ( - tf' ( t ) + f ( t ) ) dt = \int _{0} ^{1} {} ( - tf' ( t ) ) dt + \int _{0} ^{1} {} f ( t ) dt =[−tf(t)]01+2∫01f(t)dt\displaystyle = \left[ - tf ( t ) \right] _{0} ^{1} + 2 \int _{0} ^{1} f ( t ) dt =−f(1)+2∫01f(t)dt=−4−ln⁡178−ln⁡102\displaystyle = - f ( 1 ) + 2 \int _{0} ^{1} f ( t ) dt = - 4 - \frac{\ln 17}{8} - \frac{\ln 10}{2} ∫−44g(t)dt=∫−44(−tf′(t)+f(t))dt=∫−44(−tf′(t))dt+∫−44f(t)dt\displaystyle \int _{- 4} ^{4} {} g ( t ) dt = \int _{- 4} ^{4} {} ( - tf' ( t ) + f ( t ) ) dt = \int _{- 4} ^{4} {} ( - tf' ( t ) ) dt + \int _{- 4} ^{4} {} f ( t ) dt =[−tf(t)]−44+2∫−44f(t)dt\displaystyle = \left[ - tf ( t ) \right] _{- 4} ^{4} + 2 \int _{- 4} ^{4} f ( t ) dt =−4f(4)−4f(−4)+2∫−44f(t)dt\displaystyle = - 4 f ( 4 ) - 4 f ( - 4 ) + 2 \int _{- 4} ^{4} f ( t ) dt =−2(2{f(4)+f(−4)}−∫−44f(t)dt)\displaystyle = - 2 \left( 2 \left\{ f ( 4 ) + f ( - 4 ) \right\} - \int _{- 4} ^{4} f ( t ) dt \right) … ㉡ 한편 ㉠ 에서 ∫−44g(t)dt\displaystyle \int _{- 4} ^{4} g ( t ) dt =h(−4)+h(−3)+h(−2)+h(−1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)= h ( - 4 ) + h ( - 3 ) + h ( - 2 ) + h ( - 1 ) + h ( 0 ) + h ( 1 ) + h ( 2 ) + h ( 3 ) =ln⁡17+ln⁡10+ln⁡5+ln⁡2+0+ln⁡2+ln⁡5+10+8∫01g(t)dt\displaystyle = \ln 17 + \ln 10 + \ln 5 + \ln 2 + 0 + \ln 2 + \ln 5 + 10 + 8 \int _{0} ^{1} g ( t ) dt =ln⁡17+4ln⁡10−32−ln⁡17−4ln⁡10=−32= \ln 17 + 4 \ln 10 - 32 - \ln 17 - 4 \ln 10 = - 32 … ㉢ 따라서 ㉡=㉢에서 −2(2{f(4)+f(−4)}−∫−44f(t)dt)=−32\displaystyle - 2 \left( 2 \left\{ f ( 4 ) + f ( - 4 ) \right\} - \int _{- 4} ^{4} {} f ( t ) dt \right) = - 32 ∴\therefore (2{f(4)+f(−4)}−∫−44f(t)dt)=16\displaystyle \left( 2 \left\{ f ( 4 ) + f ( - 4 ) \right\} - \int _{- 4} ^{4} f ( t ) dt \right) = 16

태그

#접선#부분적분#정적분

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