미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선 조건 삼차함수

문제

삼차함수 f(x)f ( x )가 다음 두 조건을 모두 만족한다.

(가) 곡선 y=f(x)+1y = f ( x ) + 1은 x=1x = 1에서 xx축에 접한다. (나) 곡선 y=f(x)−1y = f ( x ) - 1은 x=−1x = - 1에서 xx축에 접한다.

이 때, f(4)f ( 4 )의 값을 구하시오. [4점]

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26

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해설

㈎ f(1)=−1f ( 1 ) = - 1, f′(1)=0f' ( 1 ) = 0 ㈏ f(−1)=1f ( - 1 ) = 1, f′(−1)=0f' ( - 1 ) = 0 f′(x)=a(x−1)(x+1)f' ( x ) = a ( x - 1 ) ( x + 1 )이므로 f(x)=a(13x3−x)+C\displaystyle f ( x ) = a \left( \frac{1}{3} x ^{3} - x \right) + C f(1)=−23a+C=−1\displaystyle f ( 1 ) = - \frac{2}{3} a + C = - 1 ……………………… ㉠ f(−1)=23a+C=1\displaystyle f ( - 1 ) = \frac{2}{3} a + C = 1 ………………………… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 C=0C = 0, a=32\displaystyle a = \frac{3}{2} ∴ f(x)=32(13x3−x)=12x3−32x\displaystyle f ( x ) = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} x ^{3} - x \right) = \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{3}{2} x ∴ f(4)=32−6=26f ( 4 ) = 32 - 6 = 26

태그

#삼차함수#접선#극값

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