접선 기울기 차 빈칸

양수 $a$에 대하여 곡선 $y = x ^{2}$ 위의 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , a ^{2} \right)$에서의 접선의 방정식은 $y = m _{1} \left( x - a \right) + a ^{2}$이다. 곡선 $y = x ^{2}$과 직선 $y = m _{1} \left( x - a \right) + a ^{2}$이 접하므로 이차방정식 $x ^{2} = m _{1} \left( x - a \right) + a ^{2}$이 중근을 갖는다. 이차방정식 $x ^{2} - m _{1} x + am _{1} - a ^{2} = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = m _{1} ^{2} - 4 am _{1} + 4 a ^{2} = 0$ $m _{1} = \left. {\square {2 a}} \right.$ $y = m _{2} \left( x - a \right) + a ^{2}$이 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right)$을 지나므로 $1 = \mathit{-} am _{2} + a ^{2}$ $\displaystyle m _{2} = \left. {\square {a - \frac{1}{a}}} \right.$ $m _{1} - m _{2}$$\displaystyle = 2 a - \left( a - \frac{1}{a} \right)$$\displaystyle = a + \frac{1}{a}$$\geq 2$ (단, 등호는 $a = 1$일 때 성립한다.) 따라서 $m _{1} - m _{2}$의 최솟값은 $\left. {\square {2}} \right.$ 이다. $\therefore$ $f \left( a \right) = 2 a$, $\displaystyle g \left( a \right) = a - \frac{1}{a}$, $k = 2$ 따라서 $\displaystyle f \left( k \right) \times g \left( k \right) = 4 \times \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 6$