접선 아래 넓이의 최댓값

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-다항함수의 미분법 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $( 0 , 0 )$이므로 $f ( x ) = kx ^{2} ( k \ne 0 )$이라 놓을 수 있다. 곡선 $y = f ( x )$가 점 $D ( 1 , 2 )$를 지나므로 $k = 2$ $\therefore f ( x ) = 2 x ^{2}$ $f' ( x ) = 4 x$이므로 $P ( a , 2 a ^{2} ) ( 0 < a < 1 )$이라 하면 점 $P$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y - 2 a ^{2} = 4 a ( x - a )$, $y = 4 ax - 2 a ^{2}$ 직선 $l$의 $x$절편은 $\displaystyle x = \frac{a}{2}$이고 $x = 1$일 때, $y = 4 a - 2 a ^{2}$이므로 구하는 어두운 부분의 넓이를 $S ( a )$라 하면 $\displaystyle S ( a ) = \frac{1}{2} \times \left( 1 - \frac{a}{2} \right) \times ( 4 a - 2 a ^{2} ) = \frac{a ^{3}}{2} - 2 a ^{2} + 2 a$ $\displaystyle S' ( a ) = \frac{3}{2} a ^{2} - 4 a + 2 = \frac{1}{2} ( 3 a ^{2} - 8 a + 4 ) = \frac{1}{2} ( 3 a - 2 ) ( a - 2 )$ $S' ( a ) = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$이므로 함수 $S ( a )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$일 때, 최대이므로 구하는 넓이의 최댓값은 $\displaystyle S \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{27} - 2 \times \frac{4}{9} + 2 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{27}$