정삼각형과 내접원 사이 거리 함수의 불연속

원에서 거리가 $t ( 0 \leq t \leq 1 )$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 위의 점 $\mathrm{P}$의 개수를 $f ( t )$라 하므로 다음과 같이 나누어볼 수 있다. (ⅰ) $t = 0$일 때 위의 그림에서 원 $S$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 교점의 개수와 같으므로 $f \left( t \right) = 3$ (ⅱ) $0 < t < 1$일 때 위의 그림과 같이 중심이 원 $S$와 같고, 반지름이 $1 + t$인 원 $S _{1}$과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 교점의 개수와 같으므로 $f \left( t \right) = 6$ (ⅲ) $t = 1$일 때 위의 그림과 같이 중심이 원 $S$와 같고, 반지름이 $2$인 원 $S _{2}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 교점의 개수와 같으므로 $f \left( t \right) = 3$ 이상에서 $\displaystyle f ( t ) = \begin{cases} 3 & \left( t = 0 \right) \\ 6 & \left( 0 < t < 1 \right) \\ 3 & \left( t = 1 \right) \end{cases}$ 따라서 함수 $f ( t )$는 $t = 0$ 또는 $t = 1$에서 불연속이므로 불연속점의 개수 $a$는 $a = 2$ 또, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {f ( t )} = 6$이므로 $b = 6$ $\therefore$$a + b = 2 + 6 = 8$