정삼각형과 반원이 만드는 각

$\displaystyle \angle \mathrm{CBP} = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle \angle \mathrm{BPC} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{BCP} = \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{ACP}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{ACP} = \angle \mathrm{ACB} + \angle BCP = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ACP}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{2 ^{2} + \left( \sqrt{3} \right) ^{2}} = \sqrt{7}$ 삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{ABQ} = \angle PBQ = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BP} = \overline{AQ} : \overline{PQ}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} : \overline{PQ} = 2 : 1$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \frac{1}{3} \mathrm{\overline{AP}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $\angle \mathrm{CQP} = \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{CPQ}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\mathrm{\overline{CP}}}{\sin \theta}$, $\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3} \sin \theta = \frac{1}{2} \times \sqrt{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \sin \theta = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ [다른 풀이]

정삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 선분 ${\mathrm{BC}}$를 지름으로 하는 반원을 점 ${\mathrm{B}}$를 원점에 두고 선분 $\mathrm{BC}$가 $x$축 위에 오도록 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다. 이때 선분 ${\mathrm{BC}}$를 지름으로 하는 반원의 중심은 $\left( 1 , 0 \right)$이고 반지름의 길이는 $1$이므로, 반원의 방정식은 $\left( x - 1 \right) ^{2} + y ^{2} = 1$ ($y \leq 0$) $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$는 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이므로, 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( 1 , \sqrt{3} \right)$이다. $\displaystyle \angle {\mathrm{CBP}} = \frac{\pi}{3}$이므로 직선 ${\mathrm{BP}}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이때 점 ${\mathrm{P}}$는 반원 위의 점이므로 ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle \left( x - 1 \right) ^{2} + \left( - \sqrt{3} x \right) ^{2} = 1$, $2 x \left( 2 x - 1 \right) = 0$ $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 따라서 점 ${\mathrm{P}}$의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 이때 두 점 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( 1 , \sqrt{3} \right)$와 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$를 지나는 직선 ${\mathrm{AP}}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{\sqrt{3} - \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{3}$ 이므로 직선 ${\mathrm{AP}}$의 방정식은 $\displaystyle y - \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \left( x - 1 \right)$ 한편 점 ${\mathrm{Q}}$는 선분 ${\mathrm{AP}}$와 선분 ${\mathrm{BC}}$, 즉 $x$축과의 교점이므로 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 ${\mathrm{Q}}$$\displaystyle \left( \frac{2}{3} , 0 \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right) ^{2} + 3} = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$이므로 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{7}}{3}} = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ $\angle {\mathrm{CQP}}$는 직선 ${\mathrm{AP}}$가 $x$축의 음의 방향과 이루는 각의 크기이므로 $\angle {\mathrm{CQP}} = \pi - \theta$ $\therefore$ $\displaystyle \sin \left( \angle {\mathrm{CQP}} \right) = \sin \left( \pi - \theta \right) = \sin \theta = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ [다른 풀이] $\displaystyle \angle \mathrm{BPC} \mathit{=} \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \angle {\mathrm{CBP}} = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{BCP} \mathit{=} \frac{\pi}{6}$ 직각삼각형 $\mathrm{BPC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : {\overline{BC}} = 1 : 2$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 1$ 다음 그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = \sqrt{3}$

직각삼각형 $\mathrm{BHP}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{HBP} \mathit{=} \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle \angle \mathrm{BHP} \mathit{=} \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \angle \mathrm{BPH} \mathit{=} \frac{\pi}{6}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} : {\overline{BP}} : {\overline{HP}} = 1 : 2 : \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{HP}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이때 두 직각삼각형 $\mathrm{AQM}$, $\mathrm{PQH}$는 서로 닮음이고 닮음비는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} : {\overline{HP}} = \sqrt{3} : \frac{\sqrt{3}}{2}$ 에서 $2 : 1$이다. 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{MQ}} : {\overline{HQ}} = 2 : 1$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}} = {\overline{HM}} - {\overline{MQ}}$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HM}} = {\overline{BM}} - {\overline{BH}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{MQ}} = 2 \times {\overline{HQ}}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}} = \frac{1}{2} - 2 \times {\overline{HQ}}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}} = \frac{1}{6}$ 직각삼각형 $\mathrm{PQH}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = {\overline{HQ}} ^{2} + {\overline{HP}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \frac{1}{36} + \frac{3}{4} = \frac{28}{36} = \frac{7}{9}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ 따라서 $\mathrm{\angle} PQH = \theta$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\sin} \theta = \frac{{\overline{HP}}}{{\overline{PQ}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ 이므로 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{CQP} \right) = \sin \left( \pi - \theta \right) = \sin \theta = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$