정사각형 내부 점들의 집합의 원소 개수 합

조건 (다)에서 $k$, $m$이 자연수이므로 $\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{2}$, $\displaystyle 0 < b \leq \frac{1}{2}$를 만족한다. 따라서 조건 (나)에서 점 $\mathrm{P}$와 점 $\left( a , b \right)$ 사이의 거리의 최솟값 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{n}}$은 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{k}}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{m}}$과 같아야 한다. 따라서 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 다음과 같다. (ⅰ) $k = n$일 때, $1 \leq m \leq n$이므로 $n$가지 (ⅱ) $m = n$일 때, $1 \leq k \leq n$이므로 $n$가지 (ⅲ) $k = m = n$일 때, $1$가지 $a _{n}$의 값은 (ⅰ)$+$(ⅱ)$-$(ⅲ)이므로 $a _{n} = 2 n - 1$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} ( 2 n - 1 )$$= 100$ [다른 풀이] $n$의 값에 따라서 순서쌍 $\left( a , b \right)$를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) $n = 1$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{k}} , \frac{1}{2 ^{m}} \right)$과 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 거리의 최솟값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$ 즉 집합 $X _{1}$의 원소의 개수를 $a _{1} = 1$ (ⅱ) $n = 2$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{k}} , \frac{1}{2 ^{m}} \right)$과 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 거리의 최솟값이 $\displaystyle \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{4} , \frac{1}{4} \right) , \left( \frac{1}{4} , \frac{1}{2} \right) ,$$\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{4} \right)$ 즉 집합 $X _{2}$의 원소의 개수를 $a _{2} = 3$ (ⅲ) $n = 3$일 때, $\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{k}} , \frac{1}{2 ^{m}} \right)$과 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 거리의 최솟값이 $\displaystyle \frac{1}{8}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{8} , \frac{1}{8} \right) , \left( \frac{1}{8} , \frac{1}{4} \right) , \left( \frac{1}{8} , \frac{1}{2} \right) ,$$\displaystyle \left( \frac{1}{4} , \frac{1}{8} \right) ,$$\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{8} \right)$ 즉 집합 $X _{3}$의 원소의 개수를 $a _{3} = 5$ $\vdots$ 따라서 집합 $X _{n}$의 원소의 개수를 $a _{n}$$= 2 n - 1$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} ( 2 n - 1 )$$= 100$