정적분의 값으로 적분 구간 구하기

$x = 3 \tan \theta$ $\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$로 놓으면 $dx = 3 \sec ^{2} \theta d \theta$이고 $x = 0$일 때 $\theta = 0$, $x = a$일 때 $\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{3}$을 만족시키는 $\theta$를 $\alpha$ $\displaystyle \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$라 하자. $x ^{2} + 9 = 9 \tan ^{2} \theta + 9 = 9 \sec ^{2} \theta$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{a} \frac{1}{x ^{2} + 9} dx = \int _{0} ^{\alpha} \frac{3 \sec ^{2} \theta}{9 \sec ^{2} \theta} d \theta = \frac{1}{3} \int _{0} ^{\alpha} 1 d \theta = \frac{\alpha}{3}$ $\displaystyle \frac{\alpha}{3} = \frac{\pi}{12}$에서 $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$ 따라서 $\displaystyle a = 3 \tan \frac{\pi}{4} = 3$