정적분의 최솟값

주어진 조건 (가), (나), (다)에 의하여 구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 $f ( x ) = e ^{x}$임을 알 수 있다. 그런데 $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 연속이다. 따라서 구간 $1 \leq x < 2$에서 $f ( e ) = 1 , f' ( 1 ) = e$이고 (나) 조건에 의하여 $f' ( x )$는 증가하는 함수이므로 $e = f' \left( 1 \right) \leq f' ( x )$이다. 이 때, $1 \leq x < 2$인 구간에서 이 식의 야변을 적분하면 $\displaystyle \int _{1} ^{x} {e dx \leq \int _{1} ^{x} {f' \left( x \right) dx}}$ 즉 $ex \leq f ( x )$이므로 다음 부등식이 성립한다. $\displaystyle \int _{1} ^{2} {e xdx \leq \int _{1} ^{2} {f \left( x \right) dx}}$ $\displaystyle \therefore \int _{0} ^{2} {f ( x ) dx = \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx + \int _{1} ^{2} {f ( x ) dx}}}$ $\displaystyle \geq \int _{0} ^{1} {e ^{x} dx + \frac{3 e}{2} = \frac{5 e}{2} - 1}$ 구하는 최솟값은 $\displaystyle \frac{5 e}{2} - 1$이다