미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분으로 정의된 함수의 미분가능성

문제

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 g(x)=∫0x∣f(t)−2t∣dt\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} \left| f ( t ) - 2 t \right| dt로 정의하자. 다음 조건을 만족시키는 이차함수 ff 중에서 f(1)f ( 1 )의 최솟값은? [4점]

g′(x)g' ( x )는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

g′(x)=∣f(x)−2x∣g' ( x ) = \left| f ( x ) - 2 x \right|이며 이 때 실수 전체에서 미분가능하기 위해서는 모든 xx에서 f(x)−2x≥0f ( x ) - 2 x \geq 0 이어야 한다. x=1x = 1대입하면 f(1)−2≥0f ( 1 ) - 2 \geq 0 f(1)≥2f ( 1 ) \geq 2

태그

#정적분#절댓값 함수#미분가능성

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