정적분으로 정의된 함수의 근

[출제의도] 정적분을 이용하여 추론하기 조건 (나)에서 $\left| x \right| < 2$일 때 $g' \left( x \right) = \mathit{-} x + a$이고 조건 (다)에서 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 1$에서 극값을 가지므로 $g' \left( 1 \right) = \mathit{-} 1 + a = 0$, $a = 1$ $\left| x \right| < 2$일 때 $g' \left( x \right) = \mathit{-} x + 1$에서 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 1$에서만 극값을 가지므로 $\left| b \right| \geq 2$ 함수 $g' \left( x \right)$가 $x = \mathit{-} 2$, $x = 2$에서 연속이므로 $\displaystyle g' \left( - 2 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 +} {g' \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 +} {\left( - x + 1 \right)} = 3$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle g' \left( 2 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {g' \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\left( - x + 1 \right)} = \mathit{-} 1$ $\cdots$ ㉡ 에서 $b \ne \pm 2$이므로 $\left| b \right| > 2$ $\cdots$ ㉢ 조건 (나)에서 $\left| g' \left( b \right) \right| = f \left( b \right) = 0$이고 $\left| x \right| \geq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 이차함수 $f \left( x \right)$는 $f \left( x \right) = \left| g' \left( x \right) \right| \geq 0$이므로 $f \left( x \right) = m \left( x - b \right) ^{2}$ ($m > 0$) ㉠, ㉡에 의하여 $f \left( - 2 \right) = \left| g' \left( - 2 \right) \right| = 3$, $f \left( 2 \right) = \left| g' \left( 2 \right) \right| = 1$ $\cdots$ ㉣ 이고 $f \left( - 2 \right) > f \left( 2 \right)$에서 $m \left( - 2 - b \right) ^{2} > m \left( 2 - b \right) ^{2}$ $b ^{2} + 4 b + 4 > b ^{2} - 4 b + 4$에서 $b > 0$ ㉢에 의하여 $b > 2$이고 조건을 만족시키는 함수 $g' \left( x \right)$는 $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} m \left( x - b \right) ^{2} _{{} _{}} & \left( x \leq - 2 \right) _{{} _{}} \\ - x + 1 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( - 2 < x < 2 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ - m \left( x - b \right) ^{2} _{{} _{}} {}^{{} ^{}} & \left( 2 \leq x < b \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ m \left( x - b \right) ^{2} {}^{{} ^{}} & \left( x \geq b \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$

㉣에 의하여 $f \left( - 2 \right) = m \left( - 2 - b \right) ^{2} = 3$, $f \left( 2 \right) = m \left( 2 - b \right) ^{2} = 1$ 두 식을 연립하면 $m \left( - 2 - b \right) ^{2} = 3 m \left( 2 - b \right) ^{2}$ $b ^{2} - 8 b + 4 = 0$ 에서 $b > 2$이므로 $\displaystyle b = 4 + 2 \sqrt{3}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle g \left( 0 \right) = \int _{0} ^{0} {\left( - t + 1 \right) dt} = 0$이므로 $\displaystyle g \left( k \right) = \int _{0} ^{k} {g' \left( t \right) dt}$에서 (ⅰ) $k < 0$일 때 $x \leq 0$에서 $g' \left( x \right) > 0$이므로 $\displaystyle g \left( k \right) = \int _{0} ^{k} {g' \left( t \right) dt} = \mathit{-} \int _{k} ^{0} {g' \left( t \right) dt} < 0$ 그러므로 $g \left( k \right) = 0$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $k = 0$일 때 $\displaystyle g \left( 0 \right) = \int _{0} ^{0} {g' \left( t \right) dt} = 0$이므로 $g \left( k \right) = 0$을 만족시킨다. (ⅲ) $0 < k \leq 2$일 때 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {g' \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{0} ^{k} {\left( - t + 1 \right) dt}$$\displaystyle = \left[ - \frac{t ^{2}}{2} + t \right] _{0} ^{k}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{k ^{2}}{2} + k = 0$ 에서 $k = 2$일 때 $g \left( k \right) = 0$을 만족시킨다. (ⅳ) $k > 2$일 때 $2 < x < b$에서 $g' \left( x \right) < 0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {g' \left( t \right) dt} = 0$이려면 $k > b$ $\displaystyle \int _{0} ^{k} {g' \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {g' \left( t \right) dt} + \int _{2} ^{b} {g' \left( t \right) dt} + \int _{b} ^{k} {g' \left( t \right) dt}$ $\displaystyle = 0 - \int _{2} ^{b} {m \left( t - b \right) ^{2} dt} + \int _{b} ^{k} {m \left( t - b \right) ^{2} dt}$ $\displaystyle = \mathit{-} m \int _{2} ^{b} {\left( t ^{2} - 2 bt + b ^{2} \right) dt} + m \int _{b} ^{k} {\left( t ^{2} - 2 bt + b ^{2} \right) dt}$ $\displaystyle = \mathit{-} m \left[ \frac{t ^{3}}{3} - bt ^{2} + b ^{2} t \right] _{2} ^{b} + m \left[ \frac{t ^{3}}{3} - bt ^{2} + b ^{2} t \right] _{b} ^{k}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{m}{3} \left( b ^{3} - 6 b ^{2} + 12 b - 8 \right) + \frac{m}{3} \left( k ^{3} - 3 k ^{2} b + 3 kb ^{2} - b ^{3} \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{m}{3} \left( b - 2 \right) ^{3} + \frac{m}{3} \left( k - b \right) ^{3} = 0$ 에서 $\left( k - b \right) ^{3} = \left( b - 2 \right) ^{3}$ $k - b$, $b - 2$는 모두 실수이므로 $k - b = b - 2$ 그러므로 $\displaystyle k = 2 b - 2 = 6 + 4 \sqrt{3}$일 때 $g \left( k \right) = 0$을 만족시킨다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $g \left( k \right) = 0$을 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $\displaystyle 0 + 2 + \left( 6 + 4 \sqrt{3} \right) = 8 + 4 \sqrt{3}$이므로 $p = 8$, $q = 4$ 따라서 $p \times q = 32$