정적분으로 정의된 함수의 극값

함수 $\displaystyle h \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {} \left( g \left( t \right) - f \left( t \right) \right) dt$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $h' \left( x \right)$$= g \left( x \right) - f \left( x \right)$ $\displaystyle = {\begin{cases} x ^{2} + ax + a & & \left( x < - 1 \right) \\ x ^{2} & & \left( - 1 \leq x < 0 \right) \\ - x ^{2} + x & & \left( 0 \leq x < 1 \right) \\ - \left( x - 1 \right) \left( x - a \right) & & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$ 함수 $h \left( x \right)$가 오직 하나의 극값을 가지려면 도함수인 함수 $y = g \left( x \right) - f \left( x \right)$의 부호가 바뀌는 점이 오직 하나 존재해야 한다. 이때 $- 1 \leq x < 1$에서 함수 $y = g \left( x \right) - f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같이 부호가 바뀌지 않으므로 함수 $h \left( x \right)$가 극값을 갖는 $x$의 값은 $x < - 1$ 또는 $x \geq 1$이다.

(ⅰ) $0 < a \leq 1$일 때 $x < - 1$에서 이차함수 $y = x ^{2} + ax + a$의 축의 방정식은 $\displaystyle x = - \frac{a}{2}$이고 $x \geq 1$에서 이차함수 $y = - \left( x - 1 \right) \left( x - a \right)$의 축의 방정식은 $\displaystyle x = \frac{1 + a}{2}$이므로 함수 $y = g \left( x \right) - f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 함수 $h \left( x \right)$는 $x = 1$에서만 극값을 가지므로 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) $a > 1$일 때 $x \geq 1$에서 함수 $y = g \left( x \right) - f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같이 $x = a$에서 부호가 바뀌므로 함수 $h \left( x \right)$는 $x = a$에서 극값을 갖는다.

따라서 함수 $h \left( x \right)$가 오직 하나의 극값을 가지려면 $x < - 1$에서 함수 $y = g \left( x \right) - f \left( x \right)$의 부호가 바뀌는 점이 존재하지 않아야 한다. 방정식 $g \left( x \right) - f \left( x \right) = 0$, 즉 $x ^{2} + ax + a = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D \leq 0$이어야 하므로 $a ^{2} - 4 a \leq 0$, $a \left( a - 4 \right) \leq 0$ $\therefore$ $0 \leq a \leq 4$ 이때 $a > 1$이므로 $1 < a \leq 4$ (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 $a$의 값의 범위는 $0 < a \leq 4$ 따라서 $a$의 최댓값은 $4$이므로 $k = 4$ $\therefore$ $h \left( 3 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left\{ g \left( t \right) - f \left( t \right) \right\} dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left( - t ^{2} + t \right) dt + \int _{1} ^{3} {} \left( - t ^{2} + 5 t - 4 \right) dt$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2} \right] _{0} ^{1} + \left[ - \frac{1}{3} t ^{3} + \frac{5}{2} t ^{2} - 4 t \right] _{1} ^{3}$ $\displaystyle = \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - 0$$\displaystyle + \left( - 9 + \frac{45}{2} - 12 \right) - \left( - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$ $\displaystyle = \frac{7}{2}$ $\therefore$ $k + h \left( 3 \right)$$\displaystyle = 4 + \frac{7}{2} = \frac{15}{2}$