정적분으로 정의된 함수의 최솟값

[출제의도] 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 함수를 구한 후, 정적분의 값을 구할 수 있는가? 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $n - 1 \leq x \leq n$일 때, $f \left( x \right) = 6 \left( x - n + 1 \right) \left( x - n \right)$ 또는 $f \left( x \right) = \mathit{-} 6 \left( x - n + 1 \right) \left( x - n \right)$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 최솟값 $0$를 가지므로 $\displaystyle g \left( 2 \right) = \int _{0} ^{2} {f \left( t \right)} dt - \int _{2} ^{4} {f \left( t \right)} dt = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{2} {f \left( t \right)} dt = \int _{2} ^{4} {f \left( t \right)} dt$ 이때, 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 최솟값을 가져야 하므로 닫힌구간 $\left[ 0 , 4 \right]$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle \int _{\frac{1}{2}} ^{4} {f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {f \left( x \right)} dx + \int _{1} ^{2} {f \left( x \right)} dx + \int _{2} ^{3} {f \left( x \right)} dx + \int _{3} ^{4} {f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {f \left( x \right)} dx - \int _{0} ^{1} {f \left( x \right)} dx + \int _{0} ^{1} {f \left( x \right)} dx - \int _{0} ^{1} {f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \mathit{-} \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \mathit{-} \int _{0} ^{\frac{1}{2}} \left\{ - 6 x \left( x - 1 \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {\left( 6 x ^{2} - 6 x \right)} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 2 x ^{3} - 3 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{\frac{1}{2}}$ $\displaystyle = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} - 3 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2}$