정적분으로 정의된 함수 조건

사차함수 $f ( x ) = x ^{4} + ax ^{2} + b$의 그래프는 $y$축에 대칭이다. $\displaystyle f ( t ) - \left| f ( t ) \right| = \begin{cases} 0 & ( f ( t ) \geq 0 ) \\ 2 f ( t ) & ( f ( t ) < 0 ) \end{cases}$에서 $f ( t ) - \left| f ( t ) \right| \leq 0$이므로 함수 $\displaystyle g ( x ) = \int _{- x} ^{2 x} \left\{ f ( x ) - \left| f ( x ) \right| \right\} dx$는 증가하지 않는 함수이다. 즉, $g ( x )$의 그래프는 상수함수인 구간과 감소하는 구간으로 이루어진다. 조건 (가)에서 $g ( x )$는 상수함수이므로 $0 \leq x \leq 2$에서 $f ( x ) \geq 0$ 조건 (나)에서 $g ( x )$는 감소함수이므로 $2 < x < 5$에서 $f ( x ) < 0$ 조건 (다)에서 $g ( x )$는 상수함수이므로 $x > 5$에서 $f ( x ) > 0$ 함수 $f ( x ) = x ^{4} + ax ^{2} + b$는 연속함수이므로 $f ( x ) = 0$은 반드시 $x = \mathit{-} 2 , 2 , - 5 , 5$를 해로 가져야 한다. 따라서 $f ( x ) = ( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} - 25 )$이므로 $\displaystyle f ( \sqrt{2} ) = ( - 2 ) ( - 23 ) = 46$이다. [다른풀이] 사차함수 $f ( x ) = x ^{4} + ax ^{2} + b$의 그래프는 $y$축에 대칭이다. $b$의 값에 따라 나누어보면 ⅰ) $b \leq 0$일 때

$0 < x < 1$에서 $g ( x )$는 감소함수이므로 조건 (가)를 만족하지 못한다. ⅱ) $b > 0$일 때

① $0 < x < 1$에서 $g ( x )$가 상수함수이므로 $f ( x ) - \left| f ( x ) \right| = 0$에서 $\alpha \geq 2$ ② $1 < x < 5$에서 $g ( x )$가 감소하므로 $f ( x ) - \left| f ( x ) \right| < 0$에서 $\alpha \leq 2$이고 $- \beta \leq - 5$ 즉, $\beta \geq 5$ ③ $x > 5$에서 $g ( x )$가 상수함수이므로 $- \beta \geq - 5$ 즉, $\beta \leq 5$ ①, ②, ③에 의해 $\alpha = 2 , \beta = 5$이고 $f ( x ) = ( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} - 25 )$이다. 따라서 $\displaystyle f ( \sqrt{2} ) = ( - 2 ) \times ( - 23 ) = 46$이다.