정적분으로 정의된 함수

[출제의도] 정적분을 이용하여 추론하기 $\displaystyle F ( x ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) d t$라 하면 $F ( x )$는 최고차항의 계수가 양수인 사차함수이다. $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} F \left( x \right) - 4 & & \left( x < 2 \right) \\ - F \left( x \right) + 4 & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$ 조건 (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{g \left( x \right) - 4}{x - 2} = g' \left( 0 \right)$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \left( x - 2 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \left\{ g \left( x \right) - 4 \right\} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \left\{ F \left( x \right) - 8 \right\} = F \left( 2 \right) - 8 = 0$ 그러므로 $F \left( 2 \right) = 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또한 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{g \left( x \right) - 4}{x - 2}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{F \left( x \right) - 8}{x - 2} = F' \left( 2 \right) = f \left( 2 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} \frac{g \left( x \right) + 4}{x - 2}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} \frac{- \left\{ F \left( x \right) - 8 \right\}}{x - 2}$$= - F' \left( 2 \right) = - f \left( 2 \right)$ $g' \left( 0 \right) = F' \left( 0 \right) = f \left( 0 \right)$ 조건 (가)에 의하여 $f \left( 2 \right) = - f \left( 2 \right) = f \left( 0 \right)$에서 $f \left( 2 \right) = f \left( 0 \right) = 0$ $f \left( x \right) = ax \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) \left( a , b \right.$는 상수, $a > 0 )$ $f ( x ) = a \left\{ x ^{3} - ( b + 2 ) x ^{2} + 2 b x \right\}$에서 $f' ( x ) = a \left\{ 3 x ^{2} - 2 ( b + 2 ) x + 2 b \right\}$ $f' ( 2 ) = a ( - 2 b + 4 ) < 0$에서 $a > 0$이므로 $- 2 b + 4 < 0$, $b > 2$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) & & \left( x < 2 \right) \\ - f \left( x \right) & & \left( x > 2 \right) \end{cases}}$ $f ( x ) = a x ( x - 2 ) ( x - b ) ( a > 0 , b > 2 )$에 대하여 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} g \left( x \right) = 4$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} g \left( x \right) = g \left( 2 \right) = - 4$ 조건 (나)에 의하여 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = 4$가 두 점에서 만나야 하므로 $g ( b ) = 4$ 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle g \left( b \right) = - \int _{0} ^{b} {} f \left( t \right) dt + 4 = 4$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{b} {} f \left( t \right) dt = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{b} {} at \left( t - 2 \right) \left( t - b \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{b} {} a \left\{ t ^{3} - \left( b + 2 \right) t ^{2} + 2 bt \right\} dt$ $\displaystyle = a \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} t ^{4} - \frac{b + 2}{3} t ^{3} + bt ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{b}$ $\displaystyle = a \left( \frac{b ^{4}}{4} - \frac{b + 2}{3} \times b ^{3} + b ^{3} \right)$ $\displaystyle = ab ^{3} \left( \frac{b}{4} - \frac{b + 2}{3} + 1 \right) = 0$ $3 b - 4 \left( b + 2 \right) + 12 = 0$에서 $b = 4$ ㉠에 의하여 $\displaystyle \int _{0} ^{2} f ( t ) d t = 8$ $\displaystyle \int _{0} ^{2} f ( t ) d t$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} a t ( t - 2 ) ( t - 4 ) d t$$\displaystyle = a \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} t ^{4} - 2 t ^{3} + 4 t ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $= 4 a = 8$ 에서 $a = 2$이므로 $f ( x ) = 2 x ( x - 2 ) ( x - 4 )$ 따라서 $f ( 5 ) = 30$