미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정적분 항등식으로 함수와 상수 구하기

문제

함수 f(x)f ( x )와 상수 aa가 모든 실수 xx에 대하여 등식 6+∫axf(t)t2dt=x\displaystyle 6 + \int _{a} ^{x} \frac{f ( t )}{t ^{2}} dt = x 를 만족시킬 때, f(a)f ( a )의 값을 구하여라. [3점]

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해설

6+∫axf(t)t2dt=x\displaystyle 6 + \int _{a} ^{x} \frac{f ( t )}{t ^{2}} dt = x ⋯⋯ ㉠ ㉠이 xx에 대한 항등식이므로 ㉠의 양변에 x=ax = a를 대입하면 6+0=a6 + 0 = a ∴ a=6a = 6 ㉠의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)x2=1\displaystyle \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 1 ∴ f(x)=x2f ( x ) = x ^{2} ∴ f(a)=f(6)=36f ( a ) = f ( 6 ) = 36

태그

#정적분#항등식#미분

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