정적분 함수의 극값

함수 $g \left( x \right)$가 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {} \left( \left| f \left( t \right) \right| - \left| t \right| \right) dt$ 이므로 $g' \left( x \right) = \left| f \left( x \right) \right| - \left| x \right|$ $g' \left( 0 \right) = \left| f \left( 0 \right) \right| - 0 = 0$이므로 조건 (가)에 의하여 방정식 $g' \left( x \right) = 0$은 $x = 0$을 제외한 서로 다른 실근의 개수가 $3$이어야 한다. 조건 (나)에서 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2$, $x = 6$에서 극값을 가지므로 $g' \left( 2 \right) = g' \left( 6 \right) = 0$ 따라서 방정식 $g' \left( x \right) = 0$은 $0$, $2$, $6$을 근으로 가진다. 이때 $f \left( 6 \right)$의 부호에 따라 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프를 분류하면 다음과 같다. (ⅰ) $f \left( 6 \right) \leq 0$일 때 (a) $f \left( 2 \right) = - 2$인 경우

위의 그림과 같이 $f \left( 6 \right) \leq 0$, $f \left( 2 \right) = - 2$인 경우 방정식 $g' \left( x \right) = 0$, 즉 $\left| f \left( x \right) \right| = \left| x \right|$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$이려면 직선 $y = x$가 $y = f \left( x \right)$의 그래프에 접하고 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = - x$의 교점의 $x$좌표가 $0$, $2$, $6$이어야 한다. 이때 $f \left( 6 \right) < 0$이고 $0 \leq x \leq 2$에서 $\left| f \left( x \right) \right| \leq \left| x \right|$이므로 $g \left( 2 \right) < 0$, $f \left( 6 \right) g \left( 2 \right) > 0$ 그런데 조건에서 $f \left( 6 \right) g \left( 2 \right) < 0$이어야 하므로 모순이다. (b) $f \left( 2 \right) = 2$인 경우

$f \left( 2 \right) = 2$, $f \left( 6 \right) = - 6$일 때 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 6$에서 극값을 가지므로 $2 < x < 6$에서 $g' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실근이 존재한다. 따라서 방정식 $g' \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$이므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. (ⅱ) $f \left( 6 \right) > 0$일 때

$f \left( \alpha \right) = - \alpha \left( 2 < \alpha < 6 \right)$이고 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = x$에 접할 때 방정식 $g' \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근은 $0$, $2$, $\alpha$, $6$이고 개수는 $4$이다. 이때 $f \left( 6 \right) > 0$이고 $0 \leq x \leq 2$에서 $\left| f \left( x \right) \right| \leq \left| x \right|$이므로 $g \left( 2 \right) < 0$, $f \left( 6 \right) g \left( 2 \right) < 0$ 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에서 만족시키는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = x$와 접하고 $f \left( 6 \right) = 6$이므로 삼차함수 $f \left( x \right) - x$는 $x ^{2}$, $x - 6$을 인수로 가진다. $f \left( x \right) - x = k x ^{2} \left( x - 6 \right)$, 즉 $f \left( x \right) = kx ^{2} \left( x - 6 \right) + x$ 라 하면 $f \left( 2 \right) = - 2$이므로 $- 2 = k \times 2 ^{2} \times \left( 2 - 6 \right) + 2$, $\displaystyle k = \frac{1}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} x ^{2} \left( x - 6 \right) + x$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( 8 \right) = \frac{1}{4} \times 8 ^{2} \times \left( 8 - 6 \right) + 8 = 40$