전개 후 산술기하평균과 등호 조건

$\log _{2} x + \log _{2} y = \log _{2} xy = 2$이므로 $xy = 4$ $\log _{2} ( x + 1 ) + \log _{2} ( y + 4 ) = \log _{2} ( x + 1 ) ( y + 4 )$ $( x + 1 ) ( y + 4 ) = xy + 4 x + y + 4 = 4 x + y + 8$ $4 x > 0$, $y > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle 4 x + y \geq 2 \sqrt{4 xy} = 2 \sqrt{16} = 8$ (등호는 $4 x = y$일 때 성립) 즉 $( x + 1 ) ( y + 4 ) \geq 16$이고, 밑 $2$가 $1$보다 크므로 $\log _{2} ( x + 1 ) + \log _{2} ( y + 4 ) \geq \log _{2} 16 = 4$ 등호는 $4 x = y$, $xy = 4$에서 $4 x ^{2} = 4$, $x = 1$, $y = 4$일 때 성립한다. 따라서 $m = 4$, $a = 1$이므로 $m + a = 5$