점이 두 개가 되게 하는 조건

실마리: 조건 (가)는 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점까지의 거리 조건이고, 조건 (나)는 직선 $\mathrm{AB}$ 까지의 거리 조건이다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 $\mathrm{M} ( 0 , 0 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 10$ (ⅰ) 조건 (가)에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2}$ $\displaystyle k = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 50$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} ^{2} = \frac{k - 50}{2}$ 즉 점 $\mathrm{P}$ 는 원점을 중심으로 하는 원 위의 점이고, 그 반지름의 길이를 $r$ 라 하면 $\displaystyle r ^{2} = \frac{k - 50}{2}$ (단, $k > 50$) (ⅱ) 조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 넓이가 $15$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 10$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $3$ 이다. 직선 $\mathrm{AB}$ 의 방정식은 $4 x + 3 y = 0$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 는 두 직선 $4 x + 3 y = 15$, $4 x + 3 y = - 15$ 위의 점이다. 원점과 이 두 직선 사이의 거리는 각각 $\displaystyle \frac{15}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}}} = \frac{15}{5} = 3$ 이다. (ⅲ) 따라서 반지름의 길이가 $r$ 인 원과 두 직선의 교점의 개수는 $r < 3$ 일 때 $0$, $r = 3$ 일 때 $2$, $r > 3$ 일 때 $4$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 가 오직 두 개 존재하려면 $r = 3$ 이어야 한다. $\displaystyle \frac{k - 50}{2} = 9$ 에서 $k - 50 = 18$ 따라서 $k = 68$ 이다.