대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 수열 부분합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=0,an+an+1=na _{1} = 0 , a _{n} + a _{n+1} = n을 만족시킨다. 다음은 두 자연수 m,nm , n에 대하여 ∑k=n−m+1n+mak\displaystyle \sum\limits _{k = n - m + 1} ^{n + m} {}_{a_{k}} 의 값을 구하는 과정이다. (단, m<nm < n이다.)

∑k=n−m+1n+mak\displaystyle \sum\limits _{k = n - m + 1} ^{n + m} {}_{a_{k}} =an−m+1+an−m+2+⋯+an+m−1+an+m= a _{n-m+1} + a _{n-m+2} + \cdots + a _{n+m-1} + a _{n+m} =(n−m+1)+(n−m+3)+⋯+(n+m−3)= ( n - m + 1 ) + ( n - m + 3 ) + \cdots + ( n + m - 3 )++( (가) )

==(( (나) )){(n−m+1)+\left\{ ( n - m + 1 ) + \right.( (가) )}\}
22

== (다)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] 　　　 (가) 　 (나) (다) ①n+m−1n + m - 1　 mm mnmn②n+m−1n + m - 1 mm n2n ^{2}③n+m−1n + m - 1 nn n2n ^{2}④n+mn + m m−1m - 1 mnmn⑤n+mn + m n−1n - 1 n2n ^{2}

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①

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해설

an+an+1=na _{n} + a _{n+1} = n이므로 an+m−1+an+m=n+m−1a _{n+m-1} + a _{n+m} = n + m - 1이다. ∴ ∑k=n−m+1n+mak\displaystyle \sum\limits _{k=n-m+1} ^{n+m} a _{k} =(an−m+1+an−m+2)+(an−m+3+an−m+4)= ( a _{n-m+1} + a _{n-m+2} ) + ( a _{n-m+3} + a _{n-m+4} )+⋯+(an+m−1+an+m)+ \cdots + ( a _{n+m-1} + a _{n+m} ) =(n−m+1)+(n−m+3)+⋯+(n+m−1)= ( n - m + 1 ) + ( n - m + 3 ) + \cdots + ( n + m - 1 ) 이 때, 첫째항이 n−m+1n - m + 1, 공차가 2인 등차수열에서 n+m−1n + m - 1=(n−m+1)+2(m−1)= ( n - m + 1 ) + 2 ( m - 1 )은 제 mm째 항이므로 이 등차수열의 합은 m{(n−m+1)+(n+m−1)}2\displaystyle \frac{m \left\{ ( n - m + 1 ) + ( n + m - 1 ) \right\}}{2}=mn= mn 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로 n+m−1n + m - 1, mm, mnmn이다.

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#수열의 합#점화식#증명 빈칸

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