점근선과 타원의 접선

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 점근선은 $\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} x$이므로 한 점근선을 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$라 하면 이 점근선에 평행한 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{b}{a}$이다. 기울기가 $\displaystyle \frac{b}{a}$이고 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{8 a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x \pm \sqrt{8 a ^{2} \times \left( \frac{b}{a} \right) ^{2} + b ^{2}}$ $\displaystyle y = \frac{b}{a} x \pm 3 b$ $\therefore bx - ay + 3 ab = 0$ 또는 $bx - ay - 3 ab = 0$ 이때, 원점과 두 직선 사이의 거리가 1이므로 $\displaystyle \frac{| 3 ab |}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} = 1$ $\displaystyle | 3 ab | = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$ 양변을 제곱하면 $9 a ^{2} b ^{2} = a ^{2} + b ^{2}$ 양변을 $a ^{2} b ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle 9 = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{a ^{2}}$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 9$